Obsah
Pokud byste museli udělat čtverec a nakreslit dvě diagonální čáry, protínají se uprostřed a vytvoří čtyři pravé trojúhelníky; dvě čáry se protínají v úhlu 90 stupňů. Je možné intuitivně zjistit, že tyto dvě úhlopříčky v krychli, každá z jednoho rohu do druhého a protínající se uprostřed, se také mohou protínat v pravých úhlech; ale to by byla chyba. Určení úhlu, pod kterým se obě úhlopříčky protínají, je o něco složitější, než se na první pohled zdá, ale je dobré porozumět principům geometrie a trigonometrie.
Krok 1
Definujte délku hrany jako jednotku. Podle definice má každá hrana na krychli délku rovnou vlhkosti.
Krok 2
Pomocí Pythagorovy věty určete délku úhlopříčky, která vede z jednoho rohu do druhého na stejné straně, kterou lze kvůli jasnosti nazvat „menší úhlopříčka“. Každá strana vytvořeného pravoúhlého trojúhelníku je jednotka, takže úhlopříčka se musí rovnat √2.
Krok 3
Pomocí Pythagorovy věty určete délku úhlopříčky probíhající od jednoho rohu k druhému na druhé straně krychle, kterou lze nazvat „hlavní úhlopříčkou“. Na jedné straně budete mít pravý trojúhelník ekvivalentní jedné jednotce a stranu rovnou „menší úhlopříčce“, což je ekvivalent druhé odmocniny dvou jednotek. Čtverec přepony se rovná součtu čtverce stran, takže přepona musí být √3. Každá úhlopříčka probíhající od jednoho rohu k druhému na druhé straně krychle se rovná √3 jednotkám.
Krok 4
Nakreslete obdélník, který představuje dvě větší úhlopříčky přes střed krychle, a zvažte, že je třeba najít úhel jejich průniku. Tento obdélník musí mít výšku 1 jednotku a šířku √2 jednotky. Větší úhlopříčky se protínají ve středu tohoto obdélníku a tvoří dva různé typy trojúhelníků. Jeden z nich bude mít stranu rovnou 1 jednotce a další dvě budou rovna √3 / 2 (poloviční délka větší úhlopříčky). Druhá bude mít dvě strany rovné √3 / 2, ale vaše první bude √2. Musíte pouze analyzovat jeden z trojúhelníků, vybrat první a objevit neznámý úhel.
Krok 5
Použijte trigonometrický vzorec „c² = a² + b² - 2ab x cos C“ a najděte neznámý úhel tohoto trojúhelníku. „C = 1“ a „b“ a „a“ se rovnají √3 / 2. Po vložení těchto hodnot do rovnice zjistíme, že kosinus úhlu je 1/3. Inverze kosinu 1/3 odpovídá úhlu 70,5 stupňů.